Forskel mellem lineære og ikke-lineære differentielle ligninger

Lineær vs Nonlinear Differential Equations

En ligning, der indeholder mindst en differentieringskoefficient eller derivat af en ukendt variabel, er kendt som en differentialekvation. En differentiel ligning kan være enten lineær eller ikke-lineær. Omfanget af denne artikel er at forklare, hvad der er lineær differentialekvation, hvad er ikke-lineær differentialekvation, og hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.

Siden udviklingen af ​​beregninger i det 18. århundrede af matematikere som Newton og Leibnitz har differentialekvationen spillet en vigtig rolle i matematikhistorien. Forskellige ligninger er af stor betydning i matematik på grund af deres anvendelsesområde. Differentialekvationer er kernen i hver model, vi udvikler for at forklare ethvert scenario eller begivenhed i verden, om det er fysik, ingeniør, kemi, statistik, økonomisk analyse eller biologi (listen er uendelig). Faktisk, indtil beregningen blev en etableret teori, var egnede matematiske værktøjer ikke tilgængelige for at analysere de interessante problemer i naturen.

Resulterende ligninger fra en specifik anvendelse af calculus kan være meget komplekse og nogle gange ikke opløselige. Der er dog dem, vi kan løse, men kan se ens og forvirrende ud. Derfor er der for lettere identifikation af differentialekvationer kategoriseret ved deres matematiske adfærd. Lineær og ikke-lineær er en sådan kategorisering. Det er vigtigt at identificere forskellen mellem lineære og ikke-lineære differentialligninger.

Hvad er en lineær differentiel ligning?

Antag at f: X → Y og f (x) = y, a differentialligning uden ikke-lineære termer af den ukendte funktion y og dens derivater er kendt som en lineær differentialekvation.

Det pålægger betingelsen om, at y ikke kan have højere indeksvilkår som y ² , y ³ , … og multipler af derivater som

Det kan heller ikke indeholde ikke-lineære vilkår som Sin y, e ^{y ^ - 2} eller ln y. Det tager formularen,

hvor y og g er funktioner af x. Ligningen er en differentialekvation af rækkefølge n, som er indekset for den højeste ordensderivat.

I en lineær differentialekvation er differentialoperatøren en lineær operatør, og opløsningerne danner et vektorrum. Som et resultat af den fastsatte løsnings lineære karakter er en lineær kombination af opløsningerne også en løsning på differentialekvationen.Det vil sige, at hvis y ₁ og y ₂ er løsninger af differentialekvationen, så C ₁ y ₁ + C ₂ y ₂ er også en løsning.

Ligningens linearitet er kun en parameter for klassifikationen, og den kan yderligere kategoriseres i homogene eller ikke-homogene og almindelige eller partielle differentialligninger. Hvis funktionen er g = 0, er ligningen en lineær homogen differentialekvation. Hvis f er en funktion af to eller flere uafhængige variabler (f: X, T → Y) og f (x, t) = y ligning er en lineær partial differentiel ligning.

Løsningsmetode for differentialekvationen er afhængig af typen og koefficienterne i differentialekvationen. Det nemmeste tilfælde opstår, når koefficienterne er konstante. Klassisk eksempel på denne sag er Newtons anden lov om bevægelse og dens forskellige anvendelser. Newtons anden lov producerer en anden ordens lineær differentialekvation med konstante koefficienter.

Hvad er en ikke-linjær differentialekvation?

Ligninger, der indeholder ikke-lineære termer, kaldes ikke-lineære differentialekvationer.

Alle ovenfor er ikke-lineære differentialligninger. Ikke-lineære differentialligninger er vanskelige at løse, derfor er det nødvendigt med en tæt undersøgelse for at opnå en korrekt løsning. I tilfælde af partielle differentialligninger har de fleste af ligningerne ingen generel løsning. Derfor skal hver ligning behandles uafhængigt.

Navier-Stokes-ligningen og Eulers ligning i væskedynamik, Einsteins feltekvationer af generel relativitet er velkendte, ikke-lineære partielle differentialligninger. Sommetider kan anvendelsen af ​​Lagrange-ligning til et variabelt system resultere i et system af ikke-lineære partielle differentialligninger.

Hvad er forskellen mellem lineære og ikke-lineære forskelle i ligninger?

• En differentialekvation, som kun har de lineære udtryk for den ukendte eller afhængige variabel og dens derivater, er kendt som en lineær differentialekvation. Det har ingen term med den afhængige variabel af indeks højere end 1 og indeholder ikke flere af dets derivater. Det kan ikke have ikke-lineære funktioner som trigonometriske funktioner, eksponentiel funktion og logaritmiske funktioner i forhold til den afhængige variabel. Enhver differentialligning, der indeholder ovennævnte udtryk, er en ikke-lineær differentialekvation.

• Løsninger af lineære differentialekvationer skaber vektorrum og differentialoperatøren er også en lineær operatør i vektorrum.

• Løsninger af lineære differentialekvationer er forholdsvis lettere, og der findes generelle løsninger. For ikke-lineære ligninger eksisterer i de fleste tilfælde ikke den generelle løsning, og løsningen kan være problemspecifik. Dette gør løsningen meget vanskeligere end de lineære ligninger.