Forskel mellem aritmetisk sekvens og geometrisk sekvens: aritmetisk vs geometrisk sekvens | Aritmetisk vs Geometrisk Progression

Aritmetisk sekvens vs geometrisk sekvens

Undersøgelsen af ​​mønstre af tal og deres adfærd er en vigtig undersøgelse inden for matematik. Disse mønstre kan ofte ses i naturen og hjælper os med at forklare deres adfærd på et videnskabeligt synspunkt. Aritmetiske sekvenser og geometriske sekvenser er to af de grundlæggende mønstre, der forekommer i tal, og findes ofte i naturlige fænomener.

Sekvensen er et sæt bestilte numre. Antallet af elementer i sekvensen kan enten være endelige eller uendelige.

Mere om Aritmetisk Sequence (Aritmetrisk Progression)

En aritmetisk sekvens er defineret som en sekvens af tal med en konstant forskel mellem hver sammenhængende periode. Det er også kendt som aritmetisk progression.

Aritmetisk Sequnece ⇒ a ₁ , a ₂ , a _3, a ₄ , …, a _{n <; hvor a} 2 _{= a} 1 _{+ d, a} 3 _{= a} 2 _{+ d osv.}

Hvis den oprindelige term er en

1 _{og den fælles forskel er d, er sekvensen n} th ^{givet af:} a

n _{= a} 1 _{+ (n-1) d} Ved at tage ovenstående resultat videre, kan n

th ^{også som;} a

n _{= a} m _{+ (nm) d,} hvor a m _{er et vilkårligt udtryk i sekvensen således at n> m.}

Sættet med lige tal og sæt af ulige tal er de enkleste eksempler på aritmetiske sekvenser, hvor hver sekvens har en fælles forskel (d) på 2.

Antallet af udtryk i en sekvens kan være enten uendelig eller endelig. I det uendelige tilfælde (n → ∞) er sekvensen uendelig afhængig af den fælles forskel (a n _{→ ± ∞). Hvis almindelig forskel er positiv (d> 0) har sekvensen en positiv uendelighed, og hvis den almindelige forskel er negativ (d <0), har den en tendens til den negative uendelighed. Hvis betingelserne er endelige, er sekvensen også endelig.}

Summen af ​​termerne i den aritmetiske sekvens er kendt som den aritmetiske serie: S

n _{= a} 1 _{+ a} 2 + a ₃ + a ₄ + ⋯ + a _n = Σ _{i = 1 → n} a _i; og S _n = (n / 2) (a ₁ + a _n ) = (n / 2) [2a _{1 < + (n-1) d] giver værdien af ​​serien (S} n) . Mere om Geometrisk Sequence (Geometrisk Progression)

En geometrisk sekvens er defineret som en sekvens, hvor kvotienten af ​​to på hinanden følgende udtryk er en konstant. Dette er også kendt som geometrisk progression.

Geometrisk sekvens ⇒ a

1

, a

2 _{, a} 3 _{, a} 4 _{, …, a} n <; hvor a ₂ / a ₁ = r, a ₃ / a ₂ = r og så videre, hvor r er en reel nummer. _{Det er nemmere at repræsentere den geometriske sekvens ved hjælp af det fælles forhold (r) og det oprindelige udtryk (a). Derfor er den geometriske sekvens ⇒ a} 1 _{, a} 1

r, a ₁ r ₂ , a ₁ r ³ , …, a ₁ r n-1 . Den generelle form for n _th udtryk angivet ved ⁿ = a

1 ^{r n-1} . (Forlader abonnementet på det oprindelige udtryk ⇒ a _n = ar _n-1 ) Den geometriske sekvens kan også være endelige eller uendelige. Hvis antallet af udtryk er endelige, siges sekvensen at være endelig. Og hvis betingelserne er uendelige, kan sekvensen enten være uendelig eller endelig afhængig af forholdet r. Det fælles forhold påvirker mange af egenskaberne i geometriske sekvenser. _{r> o}

0 Sekvensen konvergerer - eksponentiel forfald, i. e. a

n

→ 0, n → ∞

r = 1 Konstant sekvens, i. e. a	n	= konstant r> 1 Sekvensen afviger - eksponentiel vækst, i. e. a
n	→ ∞, n → ∞ r <0
-1	Sekvensen er oscillerende, men konvergerer r = 1 Sekvensen er vekslende og konstant, i. e. a
n = ± konstant	r <-1	Sekvensen veksler og afviger. jeg. e. a
n	→ ± ∞, n → ∞ r = 0 Sekvensen er en streng af nuller
N. B: I alle tilfælde ovenfor er en	1 > 0; Hvis en 1 <0, vil tegnene relateret til en
n	blive omvendt.

Tidsintervallet mellem spidserne af en bold følger en geometrisk sekvens i den ideelle model, og det er en konvergent sekvens. _{Summen af ​​betingelserne i den geometriske sekvens er kendt som en geometrisk serie; S} n _{= ar + ar} 2 _{+ ar} 3

+ ⋯ + ar

n _{= Σ} i = 1 → n ar ⁱ . Summen af ​​den geometriske serie kan beregnes ved anvendelse af følgende formel. ^S n ^{= a (1-r n} ) / (1-r) _{; hvor a er den oprindelige term og r er forholdet.} Hvis forholdet, r ≤ 1, konvergerer serien. For en uendelig serie er værdien af ​​konvergens givet af S ⁿ = a / (1-r)

Hvad er forskellen mellem aritmetisk og geometrisk sekvens / progression? _{• I en aritmetisk rækkefølge har to på hinanden følgende udtryk en fælles forskel (d), mens der i geometrisk rækkefølge har to på hinanden følgende udtryk et konstant kvotient (r).} • I en aritmetisk rækkefølge er variationen af ​​termer lineær, i. e. en lige linje kan trækkes gennem alle punkterne. I en geometrisk serie er variationen eksponentiel; enten voksende eller henfaldende baseret på det fælles forhold. ^{• Alle uendelige aritmetiske sekvenser er divergerende, mens uendelige geometriske serier enten kan være divergerende eller konvergerende.} • Den geometriske serie kan vise oscillation, hvis forholdet r er negativt, mens den aritmetiske serie ikke viser oscillation