Forskel mellem lineær ligning og ikke-lineær ligning

Lineær ligning vs ikke-lineær ligning

I matematik er algebraiske ligninger ligninger, der dannes ved hjælp af polynomier. Når udtrykkeligt skrevet, vil ligningerne være af formularen P (x ) = 0, hvor x er en vektor med n ukendte variabler, og P er et polynom. For eksempel er P (x, y) = 4x ⁵ + xy ³ + y + 10 = 0 en algebraisk ligning i to variabler skrevet eksplicit. Også (x + y) ³ = 3x ² y - 3zy ⁴ er en algebraisk ligning, men i implicit form, og den vil tage formen Q x, y, z) = x ³ + y ³ + 3xy ² + 3zy ⁴ = 0, en gang skrevet eksplicit.

En vigtig egenskab ved en algebraisk ligning er dens grad. Det er defineret til at være den højeste effekt af de udtryk der forekommer i ligningen. Hvis et udtryk består af to eller flere variabler, vil summen af ​​eksponenterne for hver variabel blive betragtet som effekten af ​​udtrykket. Vær opmærksom på at ifølge denne definition er P (x, y) = 0 grad 5, mens Q (x, y, z) = 0 er af grad 5.

Lineære ligninger og ikke-lineære ligninger er en to-partition defineret på sæt af algebraiske ligninger. Graden af ​​ligningen er den faktor, der adskiller dem fra hinanden.

Hvad er en lineær ligning?

En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1. For eksempel er 4x + 5 = 0 en lineær ligning for en variabel. x + y + 5z = 0 og 4x = 3w + 5y + 7z er lineære ligninger med henholdsvis 3 og 4 variabler. Generelt vil en lineær ligning af n-variabler tage form m ₁ x ₁ + m ₂ x ₂ + … + m _n-1 x _n-1 + m _n x _n = b. Her er x _i s de ukendte variabler, m _i 's og b er reelle tal hvor hver af m _i er ikke-nul.

En sådan ligning repræsenterer et hyperplan i det n-dimensionelle euklidiske rum. Især repræsenterer en to variabel lineær ligning en lige linje i kartesisk plan, og en tre variabel lineær ligning repræsenterer et plan på euklidisk 3-rum.

Hvad er en ikke-lineær ligning?

En kvadratisk ligning er en algebraisk ligning, som ikke er lineær. Med andre ord er en ikke-lineær ligning en algebraisk ligning af grad 2 eller højere. x ² + 3x + 2 = 0 er en enkelt variabel, ikke-lineær ligning. x ² + y ³ + 3xy = 4 og 8yzx ² + y ² + 2z ² + x + y + z = 4 er eksempler på ikke-lineære ligninger af henholdsvis 3 og 4 variabler.

En anden grad af ikke-lineær ligning hedder en kvadratisk ligning. Hvis graden er 3, så kaldes den en kubisk ligning. Grad 4 og Grad 5 ligninger hedder henholdsvis kvarts- og kvintiske ligninger.Det har vist sig, at der ikke eksisterer en analytisk metode til at løse en ikke-lineær ligning i grad 5, og det gælder også i højere grad. Løselige, ikke-lineære ligninger repræsenterer hyperoverflader, der ikke er hyperplaner.

Hvad er forskellen mellem lineær ligning og ikke-lineær ligning? • En lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 1, men en ikke-lineær ligning er en algebraisk ligning af grad 2 eller højere. • Selv om enhver lineær ligning er analytisk løselig, er det ikke tilfældet i ikke-lineære ligninger. • I det n-dimensionale euklidiske rum er opløsningsrummet for en n-variabel lineær ligning et hyperplan, mens en n-variabel ikke-lineær ligning er en hyperoverflade, som ikke er et hyperplan. (Quadrics, cubic overflader og så videre)