Forskel mellem ortogonale og orthonormale

Ortogonal vs Orthonormal

I matematik bruges de to ord ortogonale og ortonormale sammen med et sæt vektorer. Her anvendes udtrykket "vektor" i den forstand, at det er et element i et vektorrum - en algebraisk struktur, der anvendes i lineær algebra. Til vores diskussion vil vi overveje et indre produktrum - et vektorrum V sammen med et indre produkt [] defineret på V .

Som et eksempel er rummet for et indre produkt sæt af alle 3-dimensionelle positionsvektorer sammen med det sædvanlige punktprodukt.

Hvad er ortogonalt?

Det er siges at være ortogonalt, hvis og kun hvis for hver særskilte u, v en uafhængig delmængde S i S , [u, v] = 0; jeg. e. det indre produkt af u og v er lig med nulskalaren i det indre produktrum.

For eksempel i sæt af alle 3-dimensionalpositionsvektorer svarer dette til at sige, at for hvert særskilt par positionsvektorer

p og q < i S, p og q er vinkelret på hinanden. (Husk at det indre produkt i dette vektorrum er prikkeproduktet. Dotproduktet af to vektorer er lig med 0 hvis og kun hvis de to vektorer er vinkelret på hinanden.)

Overvej sætningen

S

= {(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, som er en delmængde af de 3-dimensionelle positionsvektorer. Overhold det (0, 2, 0). (4, 0, 0) = 0 , (4, 0, 0) . (0, 0, 5) = 0 & (0, 2, 0) . (0, 0, 5) = 0. Derfor er sætet S ortogonalt. Især siges to vektorer at være ortogonale, hvis deres indre produkt er 0. Derfor er hvert par vektorer i S ortogonalt. Hvad er orthormalt? Det er siges at være orthonormal, hvis og kun hvis

S

er ortogonalt og for hver vektor en af et indre produktrum V u i S , [u, u] = 1. Derfor kan det ses, at hvert orthonormalt sæt er ortogonalt, men ikke omvendt. I sætningen af ​​alle 3-dimensionalpositionsvektorer svarer dette til at sige, at for hvert særskilt par positionsvektorer p og

q i S , p og q er vinkelret på hinanden og for hver p i S , | p | = 1. Dette skyldes, at tilstanden [p, p] = 1 reducerer til s. p = | p || p | cos0 = | p | 2 = 1, hvilket svarer til | p | = ^{1. I betragtning af et ortogonalt sæt kan vi derfor altid danne et tilsvarende orthonormalt sæt ved at dividere hver vektor med dens størrelse.} T = {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} er en orthormal delmængde af sætet af alle 3-dimensionelle positionsvektorer.Det er let at se, at det blev opnået ved at dividere hver af vektorerne i sætet S

ved deres størrelser. Hvad er forskellen mellem ortogonale og orthonormale? Det siges at være ortogonale, hvis og kun hvis for hver særskilte u, v

i

• S af et indre produktrum V > S , [u, v] = 0. Det er dog orthormalt, hvis og kun hvis en yderligere betingelse - for hver vektor u i S , [u, u] = 1 er opfyldt. Et hvilket som helst orthonormalt sæt er ortogonalt, men ikke omvendt. Ethvert ortogonalt sæt svarer til et unikt ortonormalt sæt, men et orthonormalt sæt kan svare til mange ortogonale sæt.