Forskel mellem tilfældige variabler og sandsynlighedsfordeling
Random Variables vs Sannsynlighedsfordeling
Statistiske eksperimenter er tilfældige eksperimenter, der kan gentages på ubestemt tid med et kendt sæt af resultater. Både tilfældige variabler og sandsynlighedsfordelinger er forbundet med sådanne eksperimenter. For hver tilfældig variabel er der en tilknyttet sandsynlighedsfordeling defineret af en funktion kaldet kumulativ fordelingsfunktion.
Hvad er en tilfældig variabel?
En tilfældig variabel er en funktion, som tildeler numeriske værdier til resultaterne af et statistisk eksperiment. Med andre ord er det en funktion, der er defineret fra prøveområdet for et statistisk eksperiment i sæt af reelle tal.
F.eks. Overveje et tilfældigt forsøg på at vende en mønt to gange. De mulige resultater er HH, HT, TH og TT (H - heads, T - tales). Lad variablen X være antallet af hoveder, der observeres i eksperimentet. Derefter kan X tage værdierne 0, 1 eller 2, og det er en tilfældig variabel. Her vil den tilfældige variabel X kortlægge sæt S = {HH, HT, TH, TT} (prøverummet) til sætet {0, 1, 2} på en sådan måde, at HH er kortlagt til 2, HT og TH er kortlagt til 1, og TT er kortlagt til 0. I funktionsnotation kan dette skrives som: X: S → R hvor X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 og X TT) = 0.
Der er to typer tilfældige variabler: diskret og kontinuert, hvilket svarer til antallet af mulige værdier, som en tilfældig variabel kan antage, højst kan tælles eller ej. I det foregående eksempel er den tilfældige variabel X en diskret tilfældig variabel, da {0, 1, 2} er et begrænset sæt. Overvej nu det statistiske eksperiment for at finde vægten af elever i en klasse. Lad Y være den tilfældige variabel defineret som en elevs vægt. Y kan tage nogen reel værdi inden for et bestemt interval. Derfor er Y en kontinuerlig tilfældig variabel.
Hvad er en sandsynlighedsfordeling?
Sandsynlighedsfordeling er en funktion, der beskriver sandsynligheden for, at en tilfældig variabel tager visse værdier.
En funktion kaldet kumulativ fordelingsfunktion (F) kan defineres fra sæt af reelle tal til sæt af reelle tal som F (x) = P (X ≤ x) (sandsynligheden for, at X er mindre end eller lig med x) for hvert muligt resultat x. Nu kan den kumulative fordelingsfunktion af X i det første eksempel skrives som F (a) = 0, hvis a <0; f (a) = 0. 25, hvis 0≤a <1; f (a) = 0. 75, hvis 1≤a <2>
I tilfælde af diskrete tilfældige variabler kan en funktion defineres fra sæt af mulige udfald til sæt af reelle tal på en sådan måde, at ƒ (x) = P (X = x) (sandsynligheden for at X er lig med x) for hvert muligt resultat x. Denne særlige funktion ƒ hedder sandsynlighedsmassefunktionen for den tilfældige variabel X.Nu kan sandsynlighedsmassefunktionen for X i det første specielle eksempel skrives som ƒ (0) = 0. 25, ƒ (1) = 0. 5, ƒ (2) = 0. 25, og ƒ (x) = 0 ellers. Sandsynlighedsmassefunktionen sammen med den kumulative fordelingsfunktion vil således beskrive sandsynlighedsfordelingen af X i det første eksempel.
For kontinuerte tilfældige variabler kan en funktion kaldet sandsynlighedsdensitetsfunktionen (ƒ) defineres som ƒ (x) = dF (x) / dx for hver x, hvor F er den kumulative fordelingsfunktion for den kontinuerlige tilfældige variabel. Det er nemt at se, at denne funktion opfylder ∫ƒ (x) dx = 1. Sandsynlighedsdensitetsfunktionen sammen med den kumulative fordelingsfunktion beskriver sandsynlighedsfordelingen af en kontinuerlig tilfældig variabel. For eksempel beskrives den normale fordeling (som er en kontinuerlig sandsynlighedsfordeling) ved anvendelse af sandsynlighedsdensitetsfunktionen ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2 ) e ^ ([(x-μ)] < 2 / (2σ 2 )). Hvad er forskellen mellem tilfældige variabler og sandsynlighedsfordeling?
